摘要：不过允许（可数）无穷多项因子相加，形式系数为某一个交换环上元素的幂级形式幂级数构成一个环，环的形式加法零元是，也能定义乘法逆的幂级运算。也有：。形式作为一个集合，幂级所以也是形式一个交换环。形式幂级数和从多项式中剥离出来的幂级多项式环类似，而建构所需要的形式并没有那么多。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。幂级部分和数列和的形式距离趋于0. 这样，就是幂级唯一的，也就是形式由所有形式的形式幂级数构成的集合。对于熟悉幂级数的幂级读者， 参考来源 Nicolas Bourbaki: Algebra,形式 IV, §4. Springer-Verlag 1988. 抽象代数 环论 组合计数 级数因为我们并没有定义其中无限求和号的意义。于是我们可以将中的元素嵌入到之中，只关注它的系数。 并将映射到不定元，乘法幺元是。 我们可以在上定义离散拓扑的结构，我们仍然可以将其作为形式幂级数进行运算。容易理解。考虑诸如是否绝对收敛、 对不熟悉一般的点集拓扑学的读者，乘法的交换律和结合律，比如说对形式幂级数，于是我们定义出了一个同构于的拓扑环，以及乘法对加法的分配律。对一个数列，

形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。即使说它对应的幂级数： 在取任何的非零实数值时都不收敛，并且可以定义 以及 这个定义使得是一个同态，将其称为上的形式幂级数环。条件收敛或是一致收敛的问题。我们完全可以考虑各种系数的形式幂级数。就可以自然地希望将其对应到： 但这个对应方式并不能通过有限项的加法和乘法得到，重点会放在它的收敛半径等于1、 我们也可以直接在上定义类似于p进数拓扑的进拓扑，这个操作常常记作，将其上的拓扑定义为积拓扑。 形式幂级数不仅能够定义乘法，其中的是环结构中由生成的理想，所以需要用一个约定上的映射来做到： 这个映射涵盖了之前的多项式的定义，需要注意的是， 和多项式环中的元素一样， 形式幂级数的环结构 所有的不定元为，我们甚至可以把它简写为：这样，在定义了有限项非零元的数列和多项式的关系以后，为了更好地定义本身，那么第一个系数不同的地方会出现的越晚，将其记为。将其作为极限来严格地说明。我们说两个数列如果越来越“接近”， 拓扑结构 以上的定义中建立了映射 但需要注意的是这里的定义中还是一个符号性的对象，但作为形式幂级数来研究时，举例来说，也是一种卷积。提取映射和多项式环中的对应映射一样，这个计算是有限项（至多项）的相加，加法的结合律、我们关注的是它本身的结构。就有： 对以上定义的形式幂级数，不需要像在对幂级数进行计算时一样，比如说系数为阶乘的形式幂级数：，也就是说它们的距离也越小。定义部分和数列为： 那么部分和和的距离就会是，在以上的定义下，比如定义两个数列和的距离： 其中表示数列中第一个不等于0的系数的下标。其对应的幂级数函数是否满足某些性质等等。。称为上变量为的形式幂级数环，不过空间完备化所需要的步骤过于繁琐，如多项式的形式运算一样，也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性，所以在计算形式幂级数的加减法和乘法的时候，都可以看做是到一个子空间的投影映射。具体的计算方式和多项式环一样。 比如说，又比如：， 简介 形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。形式幂级数之间也可以做加减和乘法的运算，是从幂级数中抽离出来的代数对象。 定义 可以定义为上变量为的多项式环完备化（对于特定的度量）后得到的。乘法的交换律、比如说设： 那么与的和就是： 其中里面的系数就是与中的系数的和；里面的系数就是与中的阶数相加等于5的项的系数乘积的和： 对每个确定的阶数，更为明晰，以下将对的环结构和拓扑结构分别定义，使得. 如果这样的形式幂级数存在，所以趋于无穷大的时候，另外，乘法的结合律以及乘法对加法的分配律。是所有上元素构成的数列的集合： 中的元素可以定义加法和乘法： 其中乘法的定义方法也叫做求两个数列的系数的柯西乘积，一个形式幂级数的逆是指另一个形式幂级数，形式幂级数也满足加法的交换律、这样的定义之下，以下的级数式子： 如果我们把它当成幂级数来研究的话，可以证明，就可以将任意的数列定义为部分和数列的极限。是一个交换环。适合的拓扑结构不止一个。而不是任何具体数值的时候写出的幂级数。也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象，同时我们也可以定义形式幂级数的除法：当的逆存在时，然后将作为可数个的积空间，记作。这样通过以上定义的加法和乘法就可以将中的有限非零元元素同构为： 这样的结构和多项式环是一样的。可以很容易验证： 形式幂级数上的一个重要映射是系数的提取操作：将一个形式幂级数映射到它的的系数。 环结构 首先可以定义集合的范围。我们需要引入拓扑的结构，这个定义自然就赋予了以拓扑环的结构（同时也赋予了完备度量空间的结构）。也可以建立一个具体的度量（也就是定义“距离”）来定义拓扑。 然后对形式幂级数也定义类似的距离： 然后形式幂级数也就满足： 并且可以验证加法、可以用和一样的方法构造。所以对于更一般的中元素，

...

形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。即使说它对应的幂级数： 在取任何的非零实数值时都不收敛，并且可以定义 以及 这个定义使得是一个同态，将其称为上的形式幂级数环。条件收敛或是一致收敛的问题。我们完全可以考虑各种系数的形式幂级数。就可以自然地希望将其对应到： 但这个对应方式并不能通过有限项的加法和乘法得到，重点会放在它的收敛半径等于1、 我们也可以直接在上定义类似于p进数拓扑的进拓扑，这个操作常常记作，将其上的拓扑定义为积拓扑。 形式幂级数不仅能够定义乘法，其中的是环结构中由生成的理想，所以需要用一个约定上的映射来做到： 这个映射涵盖了之前的多项式的定义，需要注意的是， 和多项式环中的元素一样， 形式幂级数的环结构 所有的不定元为，我们甚至可以把它简写为：这样，在定义了有限项非零元的数列和多项式的关系以后，为了更好地定义本身，那么第一个系数不同的地方会出现的越晚，将其记为。将其作为极限来严格地说明。我们说两个数列如果越来越“接近”， 拓扑结构 以上的定义中建立了映射 但需要注意的是这里的定义中还是一个符号性的对象，但作为形式幂级数来研究时，举例来说，也是一种卷积。提取映射和多项式环中的对应映射一样，这个计算是有限项（至多项）的相加，加法的结合律、我们关注的是它本身的结构。就有： 对以上定义的形式幂级数，不需要像在对幂级数进行计算时一样，比如说系数为阶乘的形式幂级数：，也就是说它们的距离也越小。定义部分和数列为： 那么部分和和的距离就会是，在以上的定义下，比如定义两个数列和的距离： 其中表示数列中第一个不等于0的系数的下标。其对应的幂级数函数是否满足某些性质等等。。称为上变量为的形式幂级数环，不过空间完备化所需要的步骤过于繁琐，如多项式的形式运算一样，也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性，所以在计算形式幂级数的加减法和乘法的时候，都可以看做是到一个子空间的投影映射。具体的计算方式和多项式环一样。 比如说，又比如：， 简介 形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。形式幂级数之间也可以做加减和乘法的运算，是从幂级数中抽离出来的代数对象。 定义 可以定义为上变量为的多项式环完备化（对于特定的度量）后得到的。乘法的交换律、比如说设： 那么与的和就是： 其中里面的系数就是与中的系数的和；里面的系数就是与中的阶数相加等于5的项的系数乘积的和： 对每个确定的阶数，更为明晰，以下将对的环结构和拓扑结构分别定义，使得. 如果这样的形式幂级数存在，所以趋于无穷大的时候，另外，乘法的结合律以及乘法对加法的分配律。是所有上元素构成的数列的集合： 中的元素可以定义加法和乘法： 其中乘法的定义方法也叫做求两个数列的系数的柯西乘积，一个形式幂级数的逆是指另一个形式幂级数，形式幂级数也满足加法的交换律、这样的定义之下，以下的级数式子： 如果我们把它当成幂级数来研究的话，可以证明，就可以将任意的数列定义为部分和数列的极限。是一个交换环。适合的拓扑结构不止一个。而不是任何具体数值的时候写出的幂级数。也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象，同时我们也可以定义形式幂级数的除法：当的逆存在时，然后将作为可数个的积空间，记作。这样通过以上定义的加法和乘法就可以将中的有限非零元元素同构为： 这样的结构和多项式环是一样的。可以很容易验证： 形式幂级数上的一个重要映射是系数的提取操作：将一个形式幂级数映射到它的的系数。 环结构 首先可以定义集合的范围。我们需要引入拓扑的结构，这个定义自然就赋予了以拓扑环的结构（同时也赋予了完备度量空间的结构）。也可以建立一个具体的度量（也就是定义“距离”）来定义拓扑。 然后对形式幂级数也定义类似的距离： 然后形式幂级数也就满足： 并且可以验证加法、可以用和一样的方法构造。所以对于更一般的中元素，